位相空間の被覆の定義
- 開被覆
- 有限被覆
- 有限部分被覆
位相空間のコンパクト性の定義
位相空間のコンパクト性は連続写像に対し不変
コンパクト性は位相的性質
ハウスドルフ空間の閉集合はコンパクト
- 距離空間 (X,d) はそれを位相空間 (X, $\mathfrak{I}(d)$ ) と考えたときにハウスドルフ空間である。距離空間Xのコンパクト集合はXの開集合である。

11.2 実数の連続性

カッパのお話

11.3 Eⁿのコンパクト集合とコンパクト距離空間

Eⁿの有界集合の定義
Eⁿのコンパクト集合は有界な閉集合として特徴付けられる
距離空間の点列の部分列の定義
距離空間のコンパクト性の部分列による特徴付け
コンパクト距離空間はカントル集合からつくられる

11.4 最大値・最小値の定理

最大値・最小値の定理

2012-03-03

はじめよう位相空間 10

位相空間メモ

まあ、簡単なメモ

第10章位相空間

前節まででは
距離関数 → 開集合 → 位相同型写像を開集合により特徴付け
と話が進んだ。この章では与えられた集合に距離関数を定めずに直接、開集合を定めて位相同型の概念を定義する。

10.1 位相空間

集合Xの位相構造 $\mathfrak{I}$ の定義
位相空間 (X, $\mathfrak{I}$ ) とその開集合の定義
距離空間(X,d)の開集合系を、距離空間(X,d)位相構造と呼ぶ
- 開集合系 $\mathfrak{I}(d)$ はXの1つの位相構造になることより
位相空間の閉集合の定義
位相空間の閉集合の基本3性質

10.2 位相空間と連続写像

位相空間の間の写像の連続性の開集合による定義
位相空間の間の位相同型写像
- 2つの位相空間 X, Y 間の写像 f が全単射であり、 f と f^-1 が連続写像となる。
位相空間の間の位相同型写像の開集合による特徴付け

10.3 部分空間と位相

位相空間の部分空間の定義
位相空間の部分空間における開集合・閉集合の特徴付け
位相空間の点の近傍
位相空間の部分空間における開集合・閉集合の、近傍による特徴付け
位相空間の間の写像の各点連続性の近傍による定義
位相空間の間の写像の連続性の各点連続性による特徴付け

10.4 距離化可能空間とハウスドルフ空間

距離空間 (X, d) は位相空間 (X, $\mathfrak{I}(d)$ ) とみなせる。
逆に、位相空間は距離空間とみなせるだろうか？

位相空間が距離化可能空間であることの定義
- はじめの問いは「任意の位相空間は距離化可能であるか？」となる。
ハウスドルフ空間(T₂空間)の定義
[長田-Smirnov]位相空間が距離化可能空間であるための必要十分条件

その他

位相構造の記号は \mathfrak{I} で $\mathfrak{I}$ としたがよかったのか？

2012-03-02

はじめよう位相空間 9

位相空間メモ

まあ、簡単なメモ

第9章距離空間の開集合系

9.1. 開集合・閉集合と連続写像

距離空間の間の連続写像の開集合・閉集合による特徴付け
位相同型写像の開集合による特徴付け
- 閉集合によっても特徴付けられる。
- 位相同型写像とは、全単射な連続写像で逆写像もまた連続となる写像のこと。

位相同型写像と合同変換を比較すると次のようになる。

合同変換は、対応する2点間の距離を変えない写像。
位相同型写像は、全単射であって対応する部分空間が開集合であるかどうかを変えない写像。
- 閉集合の場合も同様

9.2 開集合と閉集合の具体例

距離空間の開集合の点列による特徴付け
距離空間上の点列の収束の開集合による特徴付け

9.3 距離空間の開集合系

集合Xのべき集合 $\mathfrak{P}(X)$ を定義
距離空間の開集合系を定義
距離空間と部分空間の開集合の関係

距離空間の開集合系の文字、フォントがよくわからない。
iなのかjなのか？

過去の記事

http://d.hatena.ne.jp/xzyanagi/20120301/1330629613
http://d.hatena.ne.jp/xzyanagi/20120229/1330542369

2012-03-01

はじめよう位相空間 8

位相空間メモ

まあ、簡単なメモ

第8章距離空間の開集合と閉集合

境界の定義
- 境界とは相対的な概念で、どの空間における境界であるかに注意。
開集合、閉集合の境界による定義
- 距離空間 (X,d) の部分集合 A が $Bd_X A = \phi$ ならばAは閉集合であり開集合でもある。
- 特に、Xとφはいつでも (X,d) の閉集合であり開集合でもある。
開集合、閉集合のε-近傍による特徴付け
開集合の基本3性質
- (X,d) の開集合は次の性質をもつ。
  1. X自身と空集合φは (X,d) の開集合
  2. (X,d) の有限個の開集合の共通部分はまた (X,d) の開集合
  3. (X,d) の任意個の開集合の和集合はまた (X,d) の開集合
部分空間における開集合、閉集合の特徴付け
- 開集合、閉集合は相対的な概念で、どの空間におけるものかに注意。

Xって書いたり (X,d) って書いたりまとまりがないまとめだった。

読んでいる本

はじめよう位相空間

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2012-02-29

はじめよう位相空間6-7

位相空間メモ

まあ、簡単なメモ。

第6章距離空間

距離関数、距離空間の定義
距離空間における点列の収束
- 同じ集合上の点列でも、距離関数によって収束が異なることがある
離散距離

第7章距離空間の間の連続写像と位相同型写像

距離空間におけるある点のε近傍
距離空間から距離空間への写像の連続性
位相同型写像
- 2つの距離空間 (X,d), (Y,d') 間の写像 f が全単射であり、 f と f^{-1} が連続写像となる。
位相的に同値な距離関数
- 同じ集合X上に2つの距離関数 d, d' を考え、恒等写像 id: (X,d) → (X,d') が位相同型になるとき、d と d' は位相的に同値な距離関数であるという。

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I.3 有限マルコフ連鎖

12章 連結性と中間値の定理

12.1 連結空間と連結集合

12.2 Enの連結集合

12.3 中間値の定理とその応用

12.4 写像の連続性・再考

終わり

第11章 コンパクト性と最大値・最小値の定理

11.1 コンパクト空間とコンパクト集合

11.2 実数の連続性

11.3 Enのコンパクト集合とコンパクト距離空間

11.4 最大値・最小値の定理

第10章 位相空間

10.1 位相空間

10.2 位相空間と連続写像

10.3 部分空間と位相

10.4 距離化可能空間とハウスドルフ空間

その他

第9章 距離空間の開集合系

9.1. 開集合・閉集合と連続写像

9.2 開集合と閉集合の具体例

9.3 距離空間の開集合系

過去の記事

第8章 距離空間の開集合と閉集合

読んでいる本

第6章 距離空間

第7章 距離空間の間の連続写像と位相同型写像

読んでいる本

12章連結性と中間値の定理

12.2 Eⁿの連結集合

第11章コンパクト性と最大値・最小値の定理

11.3 Eⁿのコンパクト集合とコンパクト距離空間

第10章位相空間

第9章距離空間の開集合系

第8章距離空間の開集合と閉集合

第6章距離空間

第7章距離空間の間の連続写像と位相同型写像