2012-03-03 はじめよう位相空間 10 位相空間 メモ まあ、簡単なメモ 第10章 位相空間 前節まででは 距離関数 → 開集合 → 位相同型写像を開集合により特徴付け と話が進んだ。この章では与えられた集合に距離関数を定めずに直接、開集合を定めて位相同型の概念を定義する。 10.1 位相空間 集合Xの位相構造の定義 位相空間 (X, ) とその開集合の定義 距離空間(X,d)の開集合系を、距離空間(X,d)位相構造と呼ぶ 開集合系はXの1つの位相構造になることより 位相空間の閉集合の定義 位相空間の閉集合の基本3性質 10.2 位相空間と連続写像 位相空間の間の写像の連続性の開集合による定義 位相空間の間の位相同型写像 2つの位相空間 X, Y 間の写像 f が全単射であり、 f と f-1 が連続写像となる。 位相空間の間の位相同型写像の開集合による特徴付け 10.3 部分空間と位相 位相空間の部分空間の定義 位相空間の部分空間における開集合・閉集合の特徴付け 位相空間の点の近傍 位相空間の部分空間における開集合・閉集合の、近傍による特徴付け 位相空間の間の写像の各点連続性の近傍による定義 位相空間の間の写像の連続性の各点連続性による特徴付け 10.4 距離化可能空間とハウスドルフ空間 距離空間 (X, d) は位相空間 (X, ) とみなせる。 逆に、位相空間は距離空間とみなせるだろうか？ 位相空間が距離化可能空間であることの定義 はじめの問いは「任意の位相空間は距離化可能であるか？」となる。 ハウスドルフ空間(T2空間)の定義 [長田-Smirnov]位相空間が距離化可能空間であるための必要十分条件 その他 位相構造の記号は \mathfrak{I} で としたがよかったのか？
